Θέση και ταχύτητα [Video]

Παράδειγμα. (Ευθύγραμμη κίνηση) Έστω η θέση σωματίου επάνω στον οριζόντιο άξονα

$$ \mathbf{r}(t) = \alpha t\, \hat{\imath}, $$

όπου $\alpha$ είναι μία σταθερά. Το σωμάτιο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα

$$ \mathbf{v}= \frac{d\mathbf{r}}{dt} =\alpha\,\hat{\imath}. \square $$

Παράδειγμα. (Κυκλική κίνηση) Το διάνυσμα θέσης σωματίου το οποίο κάνει κυκλική κίνηση είναι

$$ \mathbf{r}(t) = \alpha \left[ \sin(\omega t)\, \hat{\imath} + \cos(\omega t)\, \hat{\jmath} \right].

$$

Το διάνυσμα θέσης βρίσκεται πάντα επάνω σε κύκλο ακτίνας

$$ |\mathbf{r}| = \sqrt{\alpha^2 \sin^2(\omega t) + \alpha^2 \cos^2(\omega t)} = \alpha. $$

Η ταχύτητα του σωματίου είναι

$$ \bm{v}(t) \equiv \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \omega \alpha \left[ \cos(\omega t) \hat{\imath} - \sin(\omega t) \hat{\jmath} \right]. $$

Η ταχύτητα έχει μέτρο $|\mathbf{v}| = \omega \alpha$ σταθερό. Επίσης $\mathbf{v}\cdot\mathbf{r} = 0$, δηλαδή $\mathbf{v}\perp\mathbf{r}$.

Παράδειγμα. (Κυκλοειδής κίνηση) Έστω

$$ \begin{aligned} \mathbf{r} & = \mathbf{r}_1 + \mathbf{r}_2 \\ \mathbf{r}_1(t) & = \alpha\omega t\, \hat{\imath} + \alpha\, \hat{\jmath} \\ \mathbf{r}_2(t) & = - \left[ \alpha \sin(\omega t)\, \hat{\imath} + \alpha \cos(\omega t)\, \hat{\jmath} \right]. \end{aligned} $$

Η θέση περιγράφεται από μία ευθύγραμμη ομαλή κίνηση κατά τη διεύθυνση $x$ στην οποία προστίθεται μία κυκλική κίνηση ακτίνας $\alpha$. Η καμπύλη την οποία διαγράφει το σωμάτιο λέγεται κυκλοειδής και έχει παραμετρική έκφραση

$$ \mathbf{r}(t) = \alpha \left[ \omega t - \sin(\omega t) \right] \hat{\imath} + \alpha \left[ 1 - \cos(\omega t) \right] \hat{\jmath}. $$

Η ταχύτητά του είναι

$$ \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}_1}{dt} + \frac{d\mathbf{r}_2}{dt} = \omega\alpha [1 - \cos(\omega t) ]\,\hat{\imath} + \omega\alpha \sin(\omega t)\,\hat{\jmath} $$