Εισαγωγή

Δείτε το σεμινάριο αυτό.

Δυναμική σημειακών δινών [Video lecture]

Σημειακή δίνη

Θα θεωρήσουμε δίνη με σχήμα κυλινδρικό του οποίου η διάμετρος είναι πολύ μικρή σε σύγκριση με τις κλίμακες μήκους του συστήματος, όπως είναι η απόσταση μεταξύ δύο διαφορετικών δινών.

Η στροβιλότητα περιορίζεται σε μικρές περιοχές οι οποίες λέγονται vortex filaments (νήματα δινών). Σε ρηχό ρευστό (σε film) η συμπεριφορά της δίνης (του vortex filament) μέσα στο υγρό ακολουθεί τη συμπεριφορά της δίνης την οποία παρατηρούμε στην επιφάνεια του υγρού.

Ένα σημείο $(x,y)$ στο επίπεδο παριστάνει την θέση της δίνης. Έχουμε την προσέγγιση της σημειακής δίνης. (Helmholz 1858)

Δύο δίνες

• Δίνη με ισχύ $\gamma_1$ και θέση $\bm{r}_1=(x_1, y_1)$.
• Δίνη με ισχύ $\gamma_2$ και θέση $\bm{r}_2=(x_2, y_2)$.

Δύο δίνες οι οποίες βρίσκονται σε κοντινή απόσταση μεταξύ τους αλληλεπιδρούν μέσω της κίνησης του ρευστού ανάμεσά τους.

Οι εξισώσεις κίνησής τους είναι (Helmholz 1858, Kirchhoff 1876)

$$ \begin{aligned} & \dot{x}_1 = -\gamma_2\,\frac{y_1-y_2}{|\bm{r}_1-\bm{r}_2|^2},\qquad \dot{x}_2 = -\gamma_1\,\frac{y_2-y_1}{|\bm{r}_1-\bm{r}_2|^2}, \\ & \dot{y}_1 = \gamma_2\,\frac{x_1-x_2}{|\bm{r}_1-\bm{r}_2|^2},\qquad \dot{y}_2 = \gamma_1\,\frac{x_2-x_1}{|\bm{r}_1-\bm{r}_2|^2}, \tag{1}\end{aligned} $$

όπου

$$ |\bm{r}_1-\bm{r}_2|\equiv\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} $$

είναι η απόσταση μεταξύ των δινών.